こんにちは、サメハダです。
皆さんぐるぐる定規を知っていますか？
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「クルクル定規」や「デザイン定規」という名前でも呼ばれますが、正式名を「スピログラフ」と言います。1965年にイギリス人発明家のデニス・フィッシャーが考案したと言われており、翌年には商品化に至ります。米国の玩具メーカー「ハズブロ社」が日本において商標登録行っているそうですよ。（出典）
かなり歴史のあるおもちゃですし、私も子どもの頃遊んだ覚えがあります。
今回はこのスピログラフをエクセルで再現したいと思います！
再現した図形は動くように作ってみました！
実際にペンで書いているような、躍動感をお楽しみください。
神秘的な図が沢山あって、面白いよ♪
スピログラフをエクセルで作ってみた結果
完成品
動かして遊ぶことができます。
不思議だね！
この記事で遊び方を紹介しているスピログラフのファイルは、記事の最後で無料配布しています。
好きな数字を入力して、オリジナルのグラフ作りを楽しんでくださいね！
お子様の知育にも大変お勧めです。
遊び方
- パラメータ \(a,b,h\) に数字を入力します。\(a\) を \(100\) に設定すると \(b,h\) とのバランスを取りやすいのでオススメです。
- 「スタート」ボタンを押します。グラフが描かれます。ボタンをもう一度押すと止まります。
- グラフを消したい場合は「リセット」ボタンを押してクリアします。
いろいろなパターン
パラメータを変えると様々な形がいろんな形を作ってみました。一部をご紹介します。
いろんな形があるね！
スピログラフを科学する
せっかくなので数学的な話しもご紹介します。よければご覧ください。
トロコイド
このような図形は数学的には”トロコイド”と呼ばれます。
トロコイド (英語: trochoid) とは、円をある曲線（円や直線はその特殊な場合）にそってすべらないように転がしたとき、その円の内部または外部の定点が描く曲線。
ウィキペディア（Wikipedia）
トロコイドのうち、固定した円の内側を通るものを内トロコイド、外側を通るものを外トロコイドと言います。
つまりスピログラフは内トロコイドということですね。
内トロコイドの数式
定円Aの半径を\(a\) 、動円Bの半径を \(b\) 、回転角を \(θ\) 、描画点Hの半径を \(h\) とすると、内トロコイドの座標変数は次のように表せます。
$$x=(a-b)\cosθ+h\cos(\frac{a-b}{b}θ)$$
$$y=(a-b)\sinθ-h\sin(\frac{a-b}{b}θ)$$
定円Aの中心を原点としたとき、\(x\),\(y\) どちらの式も第一項で定円Aの中心から動円Bの中心までのベクトルを表し、第二項で動円Bの中心から描画点Hまでのベクトルを表しています。
第二項の角度は、\(θ\) に \(\frac{a-b}{b}\) を掛けたものになっていますが、これは変形すると \(\frac{a}{b}-1\) です。この”-1”は、動円B自体は「aとbの比率－1」回転する、ということを意味しています。
外トロコイドの数式
動円が定円の外側を回る外トロコイドはこのようなイメージです。
数式は内トロコイドと似ていますね。
$$x=(a+b)\cosθ+h\cos(\frac{a+b}{b}θ)$$
$$y=(a+b)\sinθ-h\sin(\frac{a+b}{b}θ)$$
エクセルの式を変えれば作れるよ！
サイクロイド
描画点Hが動円の上にあるとき、つまり \(b=h\) のときは、サイクロイドとなります。トロコイドと同様に、内サイクロイド、外サイクロイドを分類されます。
トロコイドの形
星芒形（せいぼうけい）
a=100,b=25のとき（つまりa:b=4:1）のときは4つの尖点を持つ星型となります。アステロイドとも呼ばれます。
星形
a=100,b=40のとき（つまりa:b=5:2）のときは5つの尖点を持つ星形になります。
楕円
a=100,b=50のとき（つまりa:b=2:1）のときは必ず楕円になります。
花びら
a=100,b=60のとき（つまりa:b=5:3）のときは花びらのような形になります。
星芒形（せいぼうけい）再び
a=100,b=75のとき（つまりa:b=4:3）のときも4つの尖点を持つ星型（アステロイド）となります。b=25のときと同じ形です。
尖った星形
a=100,b=80のとき（つまりa:b=5:4）のときは5つの尖点を持つ尖った星型になります。
bを大きくすると
a=100,b=95のときのように、ｂをaに近づけると、トゲトゲの数が増えます。
aとbが同じ値だと
a=100,b=100のときは、動円が動けないので何も描かれません。
面白いね！
スピログラフツールの公開
今回作成し、記事内でご紹介したエクセルツールは下記で無料配布中です。
お金かかる？
No!もちろん無料です！
まとめ
いかがだったでしょうか。
今回はぐるぐる定規で遊ぼうということで、エクセルでスピログラフを再現してみました。
いろんな形があって面白かったと思います。
アレンジすればロゴマークや装飾としても使えそうですよね。
エクセルはマクロや関数も入っているので興味がある方はチェックしてみてくださいね。
ご意見やご質問がございましたコメントいただけるとうれしいです。
それでは今回は以上です。引き続き一緒にがんばりましょう！
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