【右肩上がりは嘘！？】地に足つけたS&P500の20年後価格予測

こんにちは。サメハダです。

今回はS＆P500ヒストリカルデータを元にムービングウインドウ法や決定木モデルによる将来試算を行います。

平均的なパフォーマンスを使った想定は楽観的になりがち

S&P500の過去のパフォーマンスは年利7％とか10％とか言われています。

仮に年利7％で複利運用する場合、毎月1万円積み立てると30年後の投資元本は360万円ですが、評価額は1,218万円まで増加します。積立運用で約3.37倍と、とても高いパフォーマンスとなります。

株式投資の効果の一つとして”複利効果”がありますが、常々、安直な将来見込みになりがちです。

そこで、もう少し慎重な態度で保守的な計算をしてみようと思います。

ヒストリカルデータを元に値動きの”二峰性”に着目する

実際に、過去50年のS＆P500の値動きを分析する面白いことがわかりました。

なお、ヒストリカルデータはInvesting.comさんからダウンロードしています。

単純に変化率を求めると

1970年から過去51年分の月足データの終値の平均値をヒストグラムで表します。

西暦	平均価格	年間リターン	西暦	平均価格	年間リターン	西暦	平均価格	年間リターン
2021	3,967	23%	2001	1,186	-16%	1981	128	7%
2020	3,217	9%	2000	1,420	7%	1980	120	16%
2019	2,938	7%	1999	1,331	22%	1979	103	8%
2018	2,738	11%	1998	1,088	24%	1978	95	-2%
2017	2,465	17%	1997	876	30%	1977	97	-5%
2016	2,106	3%	1996	675	23%	1976	103	18%
2015	2,052	6%	1995	547	19%	1975	87	7%
2014	1,944	18%	1994	461	2%	1974	81	-23%
2013	1,652	19%	1993	453	9%	1973	107	-3%
2012	1,387	8%	1992	417	9%	1972	110	12%
2011	1,281	13%	1991	382	15%	1971	98	18%
2010	1,131	19%	1990	333	2%	1970	83	#DIV/0!
2009	949	-22%	1989	326	22%
2008	1,215	-18%	1988	268	-6%
2007	1,478	12%	1987	286	20%
2006	1,318	9%	1986	239	26%
2005	1,208	7%	1985	189	18%
2004	1,134	17%	1984	160	0%
2003	968	-2%	1983	161	34%
2002	989	-17%	1982	120	-6%

やはりやや現実味のない高いパフォーマンスになってしまいます。

次にムービング・ウィンドウ法による変化率を求めます。

”ムービング・ウィンドウ法”による変化率

MW法による変化率①：1年（52週）

過去51年分の週足データを元に、MW法による1年（52週）の変化率のヒストグラムを作ると次のようになります。

さらに、5年の場合はどうでしょうか。

MW法による変化率②：5年（261週）

「▲10～▲5％」と「+65％～+70％」の部分に分布の山が2つ見られ、いわゆる”二峰性”が発生します。

MW法による変化率③：10年（261週）

10年の場合も二峰性が発生します。

山の頂点は「+54％～+64％」と「+174％～+184％」とプラスに転じています。

多峰性にあるデータに対して、正規分布を仮定した「平均リターン」を用いることは予想を大きくはずす原因となり危険です。

そこで次に、決定木モデルによる試算を行いたいと思います。

決定木モデルによる収益性試算

事前分布の作成

統計上の複雑な理論はたくさんありますが、ここでは簡易的に2階層のモデルを定義したいと思います。

通常シナリオとリスクシナリオの境目の定義

先ほどの「MW法による変化率②：5年（261週）」のグラフを改めてみてみましょう。

これをざっくりと見た感じで2つに分けます。

そうですね、「25％」の部分を境目とすることにします。

そして、それ以上を”メインシナリオ”、それ以下を”リスクシナリオ”と定義します。

なお、2つ先のグラムに出てきますが、データ数を減らした直近10年分のデータ（N＝541）でも、同様に「25％」程度が境目になりそうだったので、この方針は妥当として先へ進めます。

各シナリオの境目の発生確率

それぞれのシナリオの発生確率は、過去データ件数の割合をそのまま使用します。

ただし、過去51年分は大すぎると考えられるので、10年分のデータと20年分のデータのそれぞれの平均を使用することとします。

（Ⅰ）過去10年データの発生確率

過去10年は2015年のギリシャ危機、20017年のトランプ政権、2020年のコロナショックなどの相場を含んでいます。

発生件数	リスクシナリオ	メインシナリオ	合計件数
件数 （10年データ）	132	409	541
発生確率	24%	76%	100%

（Ⅱ）過去20年データの発生確率

直近20年では、2001年の同時多発テロの時期は含まれませんが、株式市場の混乱は2002年以降も続いたため間接的に金融危機のデータとして含まれていると考えられます。（恣意性を排除するため1年延ばして21年とするなどの変更は行いませんでした。）

その他では、2003年のイラク戦争、2008年のリーマンショックなどが含まれます。

発生件数	リスクシナリオ	メインシナリオ	合計件数
件数 （20年データ）	493	518	1,011
発生確率	49%	51%	100%

（Ⅲ）過去10年と過去20年の合成の発生確率

まとめると次のようになります。

割合は結構異なりますが、ここでは、これらの件数を足し合わせた割合を求めることとします。（他にも様々な方法が考えられますが、大きなレベルの試算では単純合計などの手法が良く用いられます。）

発生件数	リスクシナリオ	メインシナリオ	合計件数
件数 （10年+20年）	625	927	1,552
発生確率	40%	60%	100%

各シナリオの境目の分布

同様に過去10年データと過去20年データのそれぞれのシナリオ部分の統計量を求め、合成します。

（Ⅰ）過去10年データの統計量

統計量 （10年データ）	リスクシナリオ	メインシナリオ
平均	0%	74%
標準偏差	10%	23%

（Ⅱ）過去20年データの統計量

統計量 （20年データ）	リスクシナリオ	メインシナリオ
平均	▲6%	68%
標準偏差	12%	24%

（Ⅲ）過去10年と過去20年の合成の統計量

まとめると次のようになります。

今回は2つの統計量の単純平均としました。（これも様々は手法がありますが、不確実性の下での試算では統計量の四則演算は良く行われています。）

統計量 （10年+20年）	リスクシナリオ	メインシナリオ
平均	▲3%	71%
標準偏差	11%	23%

完成した事前分布の確認

そして合成した事前分布がこちらです。

なかなかいい感じに仕上がっていると思います。

統計量 （10年+20年）	リスクシナリオ	メインシナリオ
平均	▲3%	71%
標準偏差	11%	23%
発生確率	40％	60％

乱数による収益性試算

さて、ここまでで決定木モデルによる5年間の収益率の事前分布が完成しました。

これを使って乱数による20年間の収益をシミュレーションしてみましょう。

エクセルのRAND関数とNORMSINV関数を使って簡易的に実装したシミュレーションがこちらです。

RAND関数は「F9」キーで再計算できるので押す度に結果が変わります。

20年後の収益率は、低い水準で100％～200％、高い水準で800％程度という結果になりました。

最初の30年で3.37倍（積立運用）よりも幅のある結果となっています。

乱数による収益性試算：番外編

さて、もうちょっと遊んでみます。

先ほどの合成した事前分布を1年に縮めた上で、3倍（トリプル）の値動きをした場合、20年後の収益がどのようになるか試算してみます。

同じようにシミュレーションした結果がこちらです。

低い時は200％～500％、高い時は3000％～5000％（つまり30倍～50倍）という結果になりました。

上振れが驚異的に高いですが、1年ごとに独立とした前提が少々甘かったかもしれません。

しかし、やはりトリプルは爆発力がありますね。

将来的に信託報酬も加味して、将来のシミュレーションをしても面白いかもしれません。

乱数による収益性試算：番外編　モンテカルロ・シミュレーション

最後に、Ｆ９をたくさん押したらどうなるのか、つまりどういった分布が現れるか試してみたいと思います。

手で押すのは大変なのでマクロを組みます。こちらも公開しているエクセルブックに組み込んでおきます。（私のPCでは計算に1～2分かかりました。）

Sub prog()

    Dim NORMAL20(100000) As Single, TRIPLE10(100000) As Single, TRIPLE20(100000) As Single
    Dim i As Integer, j As Integer
    j = 10000
    
    For i = 1 To j
        Application.Calculate
        NORMAL20(i) = Worksheets("SP500").Range("E11").Value
        TRIPLE10(i) = Worksheets("SP500").Range("J18").Value
        TRIPLE20(i) = Worksheets("SP500").Range("J28").Value
    Next
    
        Worksheets("kekka").Activate
    For i = 1 To j
        Cells(i + 1, 2) = NORMAL20(i)
        Cells(i + 1, 3) = TRIPLE10(i)
        Cells(i + 1, 4) = TRIPLE20(i)
    Next
    
    MsgBox ("完了")
    
End Sub

モンテカルロ・シミュレーションによる収益率①：SP500/20年

SP500の20年後の収益率の試算です。

だいたい2～3倍に増えることが多く、それ以上も期待できそうです。あくまでこの試算ですが最終的に収益率がマイナスとなったケースは一度もありませんでした。

モンテカルロ・シミュレーションによる収益率②：トリプル/10年

トリプルの10年後の収益率の試算です。

10年だとSP500の試算と似たような分布になりました。10年後に収益率がマイナスとなったケースは1件で▲18％でした。

モンテカルロ・シミュレーションによる収益率②：トリプル/10年

トリプルの20年後の収益率の試算です。

20年だとグラフ一番右の100倍以上になる場合が出てきて、発散気味の試算となります。20年後に収益率がマイナスとなったケースは1件で▲54％でした。

やはりもう少し精緻な計算が必要かもしれませんが、夢があることは確かですね。

まとめ

いかがでしたでしょうか。

今回は、SP500のヒストリカルデータを使い、①MW法による収益率のデータ抽出、②決定木による事前分布の作成、そして③モンテカルロ・シミュレーションによる将来収益率の試算を行いました。

試算する立場としては、過去ずっと右肩上がりの米国株式市場なので、ヒストリカルデータを元にリスクシナリオを織り込むのは限界があるかもしれない、と感じました。

また、投資する立場としては、定量的には価格上昇を期待しつつ、日々、定性的な面からリスク管理を行うという態度が大切だと考えています。

アプローチ次第でいろいろな試算ができそうですね。

もし誤りや改善点があれば教えていただけると嬉しいです。

今回は以上です。それではこれからも一緒に頑張りましょう！